Elfogadhatósági küszöbértékek nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokra

A páros összehasonlítás mátrixok alkalmazásának egyik központi kérdése, hogy vajon a döntéshozó következetlensége a tolerálható szinten belül marad-e, vagy elfogadhatatlanul nagynak tekinthető. Csató László, a Mérnöki és Üzleti Intelligencia Kutatólaboratórium Operációkutatás és Döntési Rendszerek Kutatócsoport tudományos munkatársa – szerzőtársával, Ágoston Kolos Csabával (Budapesti Corvinus Egyetem) közösen – kiszámította a nem teljesen kitöltött, hiányzó elemeket tartalmazó mátrixokhoz tartozó küszöbértékeket. Az eredményeket összefoglaló tanulmány egy vezető menedzsmenttudományi folyóirat, az „Omega” hasábjain jelent meg, „Inconsistency thresholds for incomplete pairwise comparison matrices” címmel.

A többszempontú döntéselméletben gyakran használt eljárás a páros összehasonlítások módszere. Ekkor a döntéshozónak nem szükséges egyszerre az összes alternatívát számszerűen értékelnie, hanem mindig csak kettőt kell összehasonlítania. Az így kapott multiplikatív páros összehasonlítás mátrix elemei megmutatják, hogy az adott sorban szereplő alternatíva hányszor jobb vagy fontosabb a megfelelő oszlopban szereplőnél.

Inkonzisztens és nem teljes preferenciák

A valós feladatokból származó mátrixok jellemzően inkonzisztensek: ha az A alternatíva kétszer jobb a B-nél, míg a B háromszor jobb a C-nél, akkor az A nem feltétlenül lesz hatszor jobb a C-nél. Más szavakkal, a közvetett összehasonlítások eredménye nem feltétlenül egyezik meg a közvetlen összehasonlításéval. Az eltérésnek a döntéshozó bizonytalansága és következetlensége mellett számos oka lehet, viszont nyilvánvaló, hogy a nagymértékű inkonzisztencia valamilyen problémát jelez, ami kétségessé teszi a kapott eredményeket.

A páros összehasonlítások módszerének másik hátránya a megválaszolandó kérdések számának négyzetes növekedése az alternatívák számának függvényében. Míg hat alternatíva mellett elég 15 összehasonlítást megadni, nyolc alternatívánál már 28-at, 10 alternatíva esetén pedig 45-öt kell ismerni. Ezek megszerzése idő- és költségigényes lehet, ezért egyes összehasonlítások eredménye hiányozhat. Ez egészen addig nem okoz gondot, amíg az összehasonlításokat reprezentáló gráf összefüggő, azaz bármely két alternatíva legalább közvetlenül, más alternatívákon keresztül összehasonlítható marad.

Az inkonzisztencia küszöbértékeinek meghatározása

A népszerű Analytic Hierarchy Process (AHP) módszertan kidolgozója, Thomas L. Saaty egyszerű küszöbértéket javasolt az inkonzisztencia tolerálhatóságára: az adott mátrix inkonzisztenciáját véletlen generált mátrixok átlagos inkonzisztenciájával osztja el, és elfogadhatónak minősíti, ha a hányados értéke nem haladja meg a 0,1-et. A 10 százalékos szabályt természetesen sokan vitatják, mégis, szinte az egyetlen széles körben használt elfogadhatósági szint. Egyik legnagyobb előnye a könnyű alkalmazhatóság; a véletlen generált mátrixok átlagos inkonzisztenciájának kiszámítása ugyan időigényes, de az alternatívák számától függő érték előre meghatározható és beépíthető a programcsomagokba.

A nem teljesen kitöltött esetben, hiányzó összehasonlítások mellett azonban az ismeretlen elemeket változónak tekintve, egy alkalmas célfüggvényt optimalizálva szeretnénk immár teljesen kitöltött mátrixot kapni. Ekkor az eredeti, teljesen kitöltött esetre vonatkozó küszöbértékek nem alkalmazhatók, hiszen abszurd feltevés lenne azt várni, hogy a döntéshozó a hiányzó kérdésekre az optimális kitöltéshez tartozó válaszokat adta volna.

Kutatásunkban a 10 százalékos elfogadhatósági szabályt terjesztettük ki a nem teljesen kitöltött esetre, azaz adott számú hiányzó elem és alternatíva mellett generált véletlen mátrixok átlagos inkonzisztenciáját határoztuk meg. A számítás ugyan rendkívül műveletigényes, mert minden véletlen mátrixnál egy újabb sajátérték minimalizálási feladatot kell megoldani, de a kapott küszöbértékek szerencsére már általánosan használhatók. Vagyis eredményeinket felhasználva immár bármely felhasználó képes dönteni, az általa kapott nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix inkonzisztenciája az elfogadható tartományon belül marad-e.